在问题解决中培养学生的思维能力
——数学组赛课总结
在小学数学教学中，解决问题是重要的组成部分。通过解决问题，能够巩固学生对知识的理解，促进学生的知识运用，培养学生的创新意识及思维能力，切实改善学生的生活体验。如果再进一步，从数学学科的视角来看，解决问题的关键在于学生处理数量关系的能力。只有正确分析并处理问题中的数量关系，问题才能得到正真的解决。
所谓数量关系，指的是根据规律总结出的存在于数学问题中的数量之间的联系，这种联系可以通过某种形式体现出来。明确数量关系，可以帮助学生明确数学问题的解决方向，促使学生形成基本的解决问题方法并逐渐找到具体的解决问题策略。因此可以说，数量关系是解决问题时学生所必须建立起来的一个以数量为基本对象的思维模型。只有掌握基本的分析方法后,积累基本的数量关系模型,才能使学生在获取信息后迅速形成解决问题的思路,提高解决问题的能力。
一、 从已有的生活经验激发学习兴趣
数学来源于生活且应用于生活。小学数学中的多数数量关系在生活中都能找到原型。如：单价×数量=总价，付出的钱数-购买物品的钱数=找回的钱数等，这些数量关系在学习之前，是无法让学生进行概括性表述的，但在实际生活中，学生早已运用这样的数量关系解决了相关的实际问题，有大量解决问题的经验。因此，教学中教师就要结合学生熟悉的教学情境，让学生在情境中理解数量关系，从而激活学生解决问题的经验，这样，学生对数量关系的理解就不再是抽象的、单一的知识，而是与学生生活经验相联系的、活的、丰富的知识。
如：李晓芬老师在教学《速度、时间和路程》时，李老师让学生在具体情境中提出合理的数学问题，利用问题引发学生的认知冲突，激发学生学习的动力，促进学生积极参与思考和探究，让学生经历数学观察、数学思考、数学表达。引导学生用已有的知识经验分析和表达情境中的数量关系，启发学生用数学的语言表达现实世界，行成初步的模型意识、几何直观和应用意识。
京张铁路——我国自主设计并建造的第一条铁路， 蒸汽机车每小时行35千米，大约行6小时。
京九铁路——我国一次性建成里程最长的铁路， 特快列车每小时行160千米，大约行16小时。
哈大高铁——世界上首条高寒高铁， 动车每小时行300千米，大约行3小时。
通过对这几组数据进行分析和提问，引导学生利用已有的知识经验进行思考，从而得出：都是已知一个小时行了多少和所用时间，求一共行了多长。通过画图分析我们可以看出都是求几个几是多少，所以都用乘法在解决。初次建立“速度×时间=路程”的关系式，为后续的规范关系做了很好的铺垫。
二、 借助已有的经验发展思维能力
要解决问题，就要对提供的情境图进行理解，读懂图意。因此，在出示情境图时，要让学生充分观察情境图，理解图意，然后再引导学生去找出已经知道了什么，要求的问题是什么，图中的哪些信息与解决这个问题相关，哪些信息是无关的。这个过程很重要，一定要让学生有独立观察与思考的过程，然后在小组内交流，最后，通过相互补充，形成一个完整的学生能理解的问题表达。
如：谢自立老师在教学《用含字母的式子表示较复杂的数量关系》时，在探究新知环节，谢老师并没有直接给出例题让学生分析解答，而是呈现出三角形和正方形的小棒图形，让学生自己观察、发现信息并提出问题，成为学习的发现者、研究者和探索者。
师:同学们，观察这幅图，你发现了什么?
生1:我发现摆正方形一共需要16根小棒。
生2:我发现摆一个三角形需要3根小棒，摆一个正方形需要4根小棒。
生3:我发现摆一个正方形比摆一个三角形多用1根小棒。
生4:我发现一个三角形和一个正方形组成一个新的图形，一共需要7个小棒。
师:添加一个信息“摆了x个三角形和x个正方形”，根据已有信息，你能提出一个数学问题吗?
生1:摆x个三角形和x个正方形一共需要多少根小棒?
生2:摆x个正方形比摆x个三角形多用了几个小棒?
生3:摆x个正方形一共用了多少个小棒?
生4:摆x的三角形一共用了多少根小棒?
独立思考后展示分享:
生1:摆三角形的小棒总数✚摆正方形的小棒总数=需要的小棒总数
3x + 4x=7x
生2:摆一个三角形和一个正方形需要的小棒个数×摆的x个=需要的小棒总数
(3+4)× x=7x
师:对比两位同学的思路，你发现了什么?
生:两种方法都是求需要的小棒的总数，而且这两种方法就是乘法分配率的运用。
师:也就是我们可以运用等量关系来列式，运用乘法分配律进行化简。
万莉老师在教学《用连乘解决问题》时，先呈现蔬菜大棚的主题图后，让学生阅读理解，从中提炼出所有的数学信息，然后要求学生根据已知信息提出问题。再从学生的提问中挑选出了三个重要问题，并根据解题需要调整了板书的顺序：1、萝卜地有多少平方米?2、红萝卜地占大棚面积的几分之几?3、红萝卜地有多少平方米?提炼出信息和问题之后，给学生布置学习任务：
1、如果用一张长方形的纸表示大棚，你能折出或画出红萝卜地的面积吗?动手试试吧。
2.看着示意图，你能解决这个问题吗?
3.分享交流：说一说你是怎么想的?
让学生借助折纸，画示意图等方法帮助理解题意，在折、画、说等过程中逐步理清数量关系，最终列式解决问题，检查答案是否正确合理等，最后归纳整理出解决问题的解题模板。
三、在交流中充分感知数量之间的关系
张思梦老师在教学《用字母表示数》时，张老师以师生的年龄为切入点，组织学生进行自主地探索学习，大胆的自己观察、自己发现、自己描述、引导学生经历从“具体事物——个性化地用符号——用字母表示数”这一逐步符号化，形式化的过程，在交流、分享的过程中，不断丰富用字母表示数的经验，满足学生的表现欲和探究欲，使学生学得轻松愉快。
环节1：由个别到一般，感知数量关系
师：你能用一个式子简明表示任意一年张老师的年龄吗?
环节2：抽象具体，建立模型
(1)独立思考：学生独立尝试用自己的方法描述任意一年老师年龄，其中有用文字的，有用字母的，还有用数字的。
(2)交流谈论：学生交流自己方法中所表示的含义，在这一环节大部分学生意识到数字表示准确值，不能表示任意数，因此剔除某些表达方法。
(3)交流展示：三个同学代表说出自己的方法、理由以及所表达含义。
(4)对比总结：除了可以用文字描述，还可以用字母表示;使学生进一步体会字母可以代表任何数，并初步体会字母表示数不仅简单明了并且具有概括性。
环节3：辨析含义，促进理解
在学生表示后，老师及时追问：“字母a，字母式(a+16)分别指什么?”学生回答：“a表示小蔡年龄。(a+16)表示张老师的年龄。”从而加深理解：字母可以表示数;含有字母的式子也可以表示数。
师：那字母式(a+16)除了可以表示一个数，还可以表示什么?
生：求和的数量关系。
师：那反过来，如果我用b表示张老师的年龄，你能用含有字母b的式子表示小蔡年龄吗?生：(b-16)
生：字母式不仅可以表示求和数量关系，还可以表示求差数量关系。
通过不断追问，让学生对知识的掌握由形象感知迈向抽象理解，充分感受用字母表示某一量，从而表示其数量关系，进而表示出另一量，由此不断生成新的学习经验。
四、 深化数量关系，提升学生解决问题的能力
学生在分析问题的过程中，自然会形成对数量关系的一种感悟和理解。但这样的感悟和理解是直观的、零散的，缺乏结构性与深刻性，不利于学生解决问题思维的发展。因此，要对学生已初步形成的数量关系进行深化，沟通数量关系之间的内在联系，建构起良好的数量关系基本系统，学生解决问题的能力才能得以提升。在教学中，我们要有意识地设计出沟通数量关系的问题，引发学生的思考，以深化学生对某种数量关系的理解。一题多问，一题多解，变式的训练等都是有效的方式。
吴倩老师在教学《植树问题》时，当同学们研究出两端都栽的方法之后，老师及时追问，我们刚刚研究了两端都栽的植树问题，你还有什么想法?
生1：如果一端栽，一端不栽呢?可以种多少棵树?
生2：如果两端都不栽呢?
师：你们提出的问题太有价值了，那你能上来结合线段图说一说一端栽，一端不栽是什么意思?两端都不栽又是什么意思?
生:如果一端栽、一端不栽，也就是把起点或者终点的这棵树拿走。
如果两端都不栽，也就是把起点和终点的树都拿走。
师：同学想一想，要怎么解决?拿出你们的学习单，继续探究。
我发现：思维的第一步还是全长÷间距=间隔数
一端栽、一端不栽：棵数=间隔数
两端都不栽：棵数=间隔数-1
如“棵数=间隔数+1”这个数量关系，吴老师引导学生从多角度、多层次进行思考探究得出：一端栽，一端不栽时，“棵数=间隔数”;两端都不栽时，“棵数=间隔数-1”。这样就由原来单一的数量关系拓展到与其相关的其他数量关系，形成一个数量关系的网状结构，每个数量关系之间都有联系，学生思考问题时就能左右逢源、思路开阔、思维灵动。
还有一种沟通，就是基于各种不同数量关系的本质内涵的沟通，如：总价=单价×数量，路程=速度×时间 ，工作总量=工作时间×工效，总产量=单产量×数量等等，这些数量关系呈现方式不同，但它们的本质是相同的，都是求几个相同加数的和的简便运算，只是在不同的情境中所表达的形式不同罢了。所以在引导学生进行数量关系沟通时，我们不仅要引导学生理解这些数量关系的“表层结构”，更要引导学生去沟通这些看似不同的数量关系的“深层结构”，这样学生对数量关系的理解就深化了。
数量关系的分析教学要建立在实际的问题情境中，要建立在基本的数量关系与基本的生活事理中，在引导学生分析基本数量关系时，不仅要使学生理解所学的数量关系，更要让学生学会如何去分析数量关系，从而提升学生解决问题的能力，发展学生的数学思维。
编辑：李晓芬
审核：张银中
图片：数学教研组提供
上传：熊川川
